Волны на струне: конечные разности

Уравнение волны на сетке: как колебание бежит по струне.

Волновое уравнение $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ описывает распространение возмущения со скоростью c; на компьютере его решают методом конечных разностей по сетке.

От струны к сетке

Натянутая струна (гитарная, скрипичная) подчиняется волновому уравнению: ускорение каждой точки пропорционально кривизне струны в этой точке. Чтобы решить его численно, разбиваем струну на узлы сетки и заменяем вторые производные конечными разностями: по времени $u_{tt} \approx (u_{\text{новое}} - 2u + u_{\text{старое}})/dt^2$, по пространству $u_{xx} \approx (u_{\text{справа}} - 2u + u_{\text{слева}})/dx^2$.

Приравняв их, получаем явную формулу: новое положение каждого узла выражается через его текущее, прошлое и положения соседей. Это рабочая лошадка — метод конечных разностей, применимый к любому уравнению в частных производных.

Симуляция: щипок разбегается в две стороны

Зададим начальный «щипок» (узкий пик в центре струны с закреплёнными концами) и посмотрим, как он эволюционирует. Высоту струны покажем символами разной плотности:

N = 21
c = 1.0
dx = 1.0/(N-1)
dt = 0.5*dx/c
r2 = (c*dt/dx)**2
u = [0.0]*N
for i in range(N):
    x = i/(N-1)
    u[i] = max(0.0, 1 - abs(4*x-2))
u_prev = u[:]
def show(u, label):
    chars = " .:-=+*#"
    line = "".join(chars[int(min(7, max(0, round(abs(v)*7))))] for v in u)
    print(f"{label:12s}|{line}|")
show(u, "t=0")
for step in range(1, 21):
    un = [0.0]*N
    for i in range(1, N-1):
        un[i] = 2*u[i]-u_prev[i]+r2*(u[i+1]-2*u[i]+u[i-1])
    u_prev, u = u, un
    if step in (5,10,15,20):
        show(u, f"t={step}")
print("Пик расщепился на две бегущие волны.")

Вывод:

t=0         |      .-=*#*=-.      |
t=5         |    .:--=---=--:.    |
t=10        | .::---:.. ..:---::. |
t=15        | :--:..       ..:--: |
t=20        |                     |
Пик расщепился на две бегущие волны.

Начальный пик в центре расщепился на две одинаковые волны, разбегающиеся в противоположные стороны к закреплённым концам. К t=20 они уже достигли краёв. Если продолжить, волны отразятся от концов и побегут обратно, создавая интерференцию. Так гитарная струна, оттянутая в одной точке, рождает бегущие и отражённые волны, складывающиеся в стоячую — ноту.

Условие устойчивости (CFL)

Здесь нельзя брать произвольный шаг времени. Условие Куранта-Фридрихса-Леви (CFL): $c\,dt/dx \le 1$. Физический смысл прост: за один шаг времени волна не должна пробегать больше одной ячейки сетки. Нарушишь — и симуляция взрывается за несколько шагов, числа уходят в бесконечность. В коде мы взяли $dt = 0.5\,dx/c$ — с запасом внутри устойчивой зоны. Это не точность, а устойчивость: превышение CFL рушит счёт мгновенно.

Как работает под капотом

Волновое уравнение связывает время и пространство через одну скорость $c$. Конечно-разностная схема локальна: каждый узел «общается» только с непосредственными соседями за один шаг. Информация распространяется по сетке ровно на одну ячейку за шаг — отсюда и условие CFL. Этот же метод (вторая разность по пространству плюс шаг по времени) лежит в основе симуляций сейсмических волн, акустики, электромагнитных полей (метод FDTD) и многого другого. Освоив струну, вы освоили универсальный инструмент.

Частые ошибки

• Нарушить условие CFL. Слишком большой $dt$ мгновенно взрывает симуляцию — это не баг, а неустойчивость схемы.
• Забыть граничные условия. Закреплённые концы ($u=0$) или свободные ведут себя по-разному; края надо обрабатывать явно.
• Перезаписать массив на месте. Новое значение узла зависит от текущих соседей; нужен отдельный массив для следующего слоя.

Итоги

• Волновое уравнение решают методом конечных разностей по сетке.
• Новое положение узла — через текущее, прошлое и соседей.
• Щипок расщепляется на две волны; отражения дают стоячую волну.
• Условие CFL $c\,dt/dx \le 1$ обязательно для устойчивости.