Теплопроводность и уравнение Лапласа

Диффузия тепла по стержню и равновесный потенциал методом релаксации.

Уравнение теплопроводности $u_t = \alpha\,u_{xx}$ описывает сглаживание температуры со временем; его стационарное состояние (когда ничего не меняется) подчиняется уравнению Лапласа $u_{xx} = 0$.

Остывание стержня

Нагретый стержень со временем выравнивает температуру: горячие места остывают, холодные нагреваются. Уравнение теплопроводности похоже на волновое, но содержит первую производную по времени, а не вторую. Физический смысл: скорость изменения температуры в точке пропорциональна кривизне профиля — тепло течёт из выпуклостей в впадины. Промоделируем стержень с горячей серединой и холодными концами:

N = 11
T = [0.0]*N
T[N//2] = 100.0
alpha = 0.4
def show(T, label):
    line = "".join(str(int(min(9, v/11))) for v in T)
    print(f"{label:10s}{line}   (макс {max(T):.1f})")
show(T, "t=0")
for step in range(1, 201):
    Tn = T[:]
    for i in range(1, N-1):
        Tn[i] = T[i] + alpha*(T[i+1]-2*T[i]+T[i-1])
    T = Tn
    if step in (5, 20, 50, 100, 200):
        show(T, f"t={step}")
print("Тепло растекается из центра, пик спадает.")

Вывод:

t=0       00000900000   (макс 100.0)
t=5       00011111000   (макс 18.2)
t=20      00000000000   (макс 9.0)
t=50      00000000000   (макс 2.7)
t=100     00000000000   (макс 0.4)
t=200     00000000000   (макс 0.0)
Тепло растекается из центра, пик спадает.

Тепло из центра растеклось к краям и ушло через холодные концы: пик 100° за 200 шагов опустился почти до нуля. Обратите внимание — теплопроводность необратима и сглаживает: острый пик размазывается, но размазанный профиль никогда сам не соберётся обратно в пик. Это родственник энтропии: тепло течёт от горячего к холодному, не наоборот.

Стационарное состояние: уравнение Лапласа

Если поддерживать фиксированные температуры (или потенциалы) на границах и ждать достаточно долго, система придёт к стационарному состоянию, где ничего не меняется. Тогда $u_t = 0$, и уравнение теплопроводности вырождается в уравнение Лапласа $u_{xx} = 0$ (в 2D: $u_{xx} + u_{yy} = 0$). Оно описывает не только установившуюся температуру, но и электростатический потенциал в области без зарядов — одна математика для разных физик.

Метод релаксации (Якоби)

Решают Лапласа итеративно: значение в каждом узле заменяют средним по соседям, повторяя до сходимости (метод Якоби). Это и есть «релаксация» — поле постепенно расслабляется к равновесию. Зададим потенциал 100 В на левой стенке квадрата и 0 на остальных, найдём поле внутри:

N = 9
V = [[0.0]*N for _ in range(N)]
for i in range(N):
    V[i][0] = 100.0
for _ in range(200):
    Vn = [row[:] for row in V]
    for i in range(1, N-1):
        for j in range(1, N-1):
            Vn[i][j] = 0.25*(V[i+1][j]+V[i-1][j]+V[i][j+1]+V[i][j-1])
    V = Vn
print("Потенциал после релаксации (метод Якоби):")
for row in V:
    print(" ".join(f"{v:3.0f}" for v in row))

Вывод:

Потенциал после релаксации (метод Якоби):
100   0   0   0   0   0   0   0   0
100  48  27  16  10   6   4   2   0
100  66  43  28  18  12   7   3   0
100  73  51  35  23  15   9   4   0
100  75  54  37  25  16  10   4   0
100  73  51  35  23  15   9   4   0
100  66  43  28  18  12   7   3   0
100  48  27  16  10   6   4   2   0
100   0   0   0   0   0   0   0   0

Потенциал плавно спадает от горячей левой стенки (100 В) к холодным остальным, и картина симметрична сверху вниз. Каждое внутреннее значение — среднее соседей, что и есть свойство гармонической функции (решения Лапласа): нет ни локальных максимумов, ни минимумов внутри. Так считают электростатические поля в конденсаторах и потенциалы в инженерных задачах.

Как работает под капотом

Уравнения теплопроводности и Лапласа — два режима одной физики. Теплопроводность — это динамика (как поле приходит к равновесию), Лаплас — это равновесие (куда оно приходит). Метод релаксации фактически прогоняет теплопроводность до полного остывания, поэтому он медленный, но надёжный. Ускоряют его методом Гаусса-Зейделя (использовать уже обновлённые значения) и методом сверхрелаксации (SOR), сходящимся в разы быстрее. Эти схемы — основа численной электростатики и теплотехники.

Частые ошибки

Превысить устойчивый $\alpha$ в теплопроводности. Для явной схемы нужно $\alpha\,dt/dx^2 \le 0.5$, иначе симуляция взрывается.
Менять граничные узлы при релаксации. Фиксированные границы трогать нельзя — обновляют только внутренние узлы.
Остановить релаксацию слишком рано. До сходимости поле ещё «не расслабилось»; проверяют по малости изменений за итерацию.

Итоги

Теплопроводность сглаживает профиль температуры и необратима.
Стационарное состояние подчиняется уравнению Лапласа.
Лаплас описывает и температуру, и электростатический потенциал.
Метод релаксации усредняет узел по соседям до сходимости.