Пределы: limit вычисляет точно

«Чему стремится функция?» — предел отвечает на это даже там, где прямая подстановка даёт 0/0. SymPy считает пределы точно.

limit — функция SymPy для вычисления пределов: к чему стремится выражение, когда переменная приближается к заданной точке (или к бесконечности).

Зачем нужны пределы

Предел — фундамент всего анализа: через него определяются и производная, и интеграл, и непрерывность. На практике пределы нужны, чтобы понять поведение функции там, где она «не определена впрямую»: знаменитый $\sin(x)/x$ при $x \to 0$ даёт неопределённость $0/0$, но предел равен ровно $1$. Или поведение на бесконечности: куда уходит функция при $x \to \infty$?

Знаменитый предел: $\sin(x)/x$ при $x \to 0$

Подставить $x=0$ нельзя — будет $0/0$. Но численно можно подкрасться к нулю и посмотреть, к чему стремится отношение:

import math

print("Приближаемся к x=0 для sin(x)/x:")
for x in [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001]:
    print(f"  x={x:<8} ->", round(math.sin(x) / x, 8))

print("Предел, похоже, равен 1")

Вывод:

Приближаемся к x=0 для sin(x)/x:
  x=0.1      -> 0.99833417
  x=0.01     -> 0.99998333
  x=0.001    -> 0.99999983
  x=0.0001   -> 1.0
Предел, похоже, равен 1

Численно мы лишь догадываемся, что предел равен 1. SymPy доказывает это точно.

Пределы в SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")

print(sp.limit(sp.sin(x)/x, x, 0))       # 1 — точно
print(sp.limit((1 + 1/x)**x, x, sp.oo))  # E — число Эйлера!
print(sp.limit(1/x, x, 0, "+"))          # oo (предел справа)
print(sp.limit(1/x, x, 0, "-"))          # -oo (предел слева)

Вторая строка особенно красива: предел $(1+1/x)^x$ при $x \to \infty$ — это определение числа e, и SymPy выдаёт точное E.

Односторонние пределы

Иногда функция ведёт себя по-разному слева и справа от точки. У $1/x$ при $x \to 0$ предел справа $+\infty$, а слева $-\infty$. Третий аргумент limit ("+" или "-") задаёт сторону:

Как работает под капотом

Наивно предел можно искать подстановкой всё более близких чисел — но это ненадёжно (мы видели лишь «похоже, 1»). SymPy использует строгий алгоритм на основе рядов: он раскладывает функцию в окрестности точки в ряд (фактически — в ряд Тейлора или более общий) и смотрит на главный член. Для неопределённостей вида $0/0$ или $\infty/\infty$ это эквивалентно правилу Лопиталя, но работает и в сложных случаях, где Лопиталь зацикливается. Алгоритм Громова-Гонне (используемый в SymPy) умеет сравнивать «скорости роста» функций и давать точный ответ там, где численное подкрадывание лишь намекает.

Частые ошибки

• Доверять только численному подкрадыванию. Оно может обмануть: для осциллирующих функций ($\sin(1/x)$) предела нет, а числа «прыгают».
• Игнорировать сторону. Если левый и правый пределы разные, двусторонний предел не существует — спрашивайте односторонний.
• Путать предел и значение. Предел в точке может существовать, даже если функция в этой точке не определена (как $\sin(x)/x$ в нуле).

Итог

• limit вычисляет точный предел, в том числе устраняя неопределённости $0/0$.
• Работают пределы на бесконечности и односторонние (аргумент "+"/"-").
• Численное «подкрадывание» лишь намекает на ответ; SymPy доказывает его.
• Под капотом — разложение в ряд и сравнение скоростей роста, а не подстановка чисел.