Критерий Рауса: устойчивость без поиска корней

Как проверить устойчивость, не вычисляя полюса: обзор критерия Рауса.

Критерий Рауса-Гурвица позволяет определить устойчивость системы по коэффициентам характеристического многочлена, не находя сами корни (полюса).

Зачем нужен критерий устойчивости

Мы знаем правило: система устойчива, если все полюса в левой полуплоскости. Но находить корни многочлена высокой степени вручную тяжело, а нам часто нужно лишь да/нет: устойчива или нет, и при каких значениях усиления граница. Для этого придумали алгебраические критерии устойчивости, работающие прямо с коэффициентами характеристического уравнения. Самый известный — критерий Рауса-Гурвица. Мы рассмотрим его обзорно, чтобы понимать идею, а считать будем на простых случаях.

Характеристическое уравнение

Знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравненный к нулю, — это характеристическое уравнение: $a_n s^n + \ldots + a_1 s + a_0 = 0$. Его корни и есть полюса. Необходимое (но не достаточное) условие устойчивости простое: все коэффициенты должны быть одного знака и ненулевыми. Если хоть один коэффициент отрицателен или равен нулю — система точно неустойчива. Это первая дешёвая проверка.

Идея таблицы Рауса

Полный критерий Рауса строит специальную таблицу из коэффициентов и проверяет знаки первого столбца: сколько раз знак меняется — столько полюсов в правой полуплоскости. Ноль смен знака = все полюса слева = устойчиво. Для систем второго порядка $a s^2 + b s + c$ критерий вырождается в простое правило: устойчиво тогда и только тогда, когда все три коэффициента положительны. Для третьего порядка $s^3 + a s^2 + b s + c$ добавляется условие $a b \gt c$.

Порядок	Условие устойчивости (упрощённо)
2-й: $s^2 + a s + b$	$a \gt 0$ и $b \gt 0$
3-й: $s^3 + a s^2 + b s + c$	$a, b, c \gt 0$ и $a b \gt c$

Как работает под капотом: проверяем границу устойчивости

Применим условие третьего порядка, чтобы найти, при каком усилении система теряет устойчивость. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы — $s^3 + 3 s^2 + 2 s + K = 0$ ($K$ зависит от усиления регулятора). По Раусу устойчиво, пока $3 \cdot 2 \gt K$, то есть $K \lt 6$.

# Критерий Рауса для s^3 + a s^2 + b s + c, c = K (усиление)
a, b = 3.0, 2.0
print("K     a,b,c>0   a*b>c   устойчиво?")
for K in (1.0, 3.0, 5.9, 6.0, 7.0):
    c = K
    positive = a > 0 and b > 0 and c > 0
    routh = a*b > c
    stable = positive and routh
    print(f"{K:4.1f}     {str(positive):5}    {str(routh):5}    {stable}")
print("граница устойчивости: K = a*b =", a*b)

Вывод:

K     a,b,c>0   a*b>c   устойчиво?
 1.0     True     True     True
 3.0     True     True     True
 5.9     True     True     True
 6.0     True     False    False
 7.0     True     False    False
граница устойчивости: K = a*b = 6.0

Критерий дал точную границу: при $K \lt 6$ система устойчива, при $K = 6$ полюса выходят на мнимую ось (незатухающие колебания), при $K \gt 6$ — расходится. Это бесценно при настройке: мы знаем максимально допустимое усиление, не запуская систему. Кстати, именно значение усиления на границе колебаний лежит в основе метода настройки Циглера-Никольса, который мы разберём позже.

Современный взгляд

Сегодня корни характеристического уравнения находят за миллисекунды численно, и кажется, что критерий Рауса — музейный экспонат. Но это не так. Его ценность — в символьном анализе: он даёт условие устойчивости в виде формулы от параметров, например $K \lt 6$. Это позволяет понять, как граница устойчивости зависит от усиления, массы, трения — и спроектировать систему с запасом, а не подбирать численно для каждого набора чисел. Кроме того, критерий мгновенно отвечает на вопрос «устойчиво ли?» без точных значений полюсов, что удобно при ручных прикидках и в учебных задачах. Понимание Рауса формирует интуицию, которой не даёт слепой численный расчёт корней.

Частые ошибки

Считать «все коэффициенты положительны» достаточным. Для порядка $\ge 3$ это лишь необходимое условие; нужно ещё проверять произведения ($a b \gt c$ и т.д.).
Забыть, что критерий — про замкнутую систему. Анализируют характеристическое уравнение контура с регулятором, а не голого объекта.
Путать границу устойчивости и оптимум. Работать у самой границы опасно: малейшее изменение объекта — и система расходится. Держат запас.

Итоги

Критерий Рауса определяет устойчивость по коэффициентам характеристического уравнения, без поиска корней.
Для 2-го порядка достаточно положительности коэффициентов; для 3-го добавляется $a b \gt c$.
Критерий даёт точную границу допустимого усиления — основа безопасной настройки.