Радиоактивный распад и диффузия

Случайные события атомов в сумме дают гладкие законы: распад и диффузия.

Стохастическая симуляция моделирует случайные элементарные события (распад атома, шаг частицы), из которых статистически складывается детерминированный макроскопический закон.

Радиоактивный распад атом за атомом

Закон радиоактивного распада $N(t) = N_0\cdot 2^{(-t/T)}$ — гладкая экспонента. Но отдельный атом не «знает» про экспоненту: он распадается случайно, с некоторой вероятностью за единицу времени, независимо от соседей и от своего возраста. Гладкий закон — это статистика миллионов случайных распадов. Промоделируем буквально: на каждом шаге каждый атом с некоторой вероятностью распадается:

import random
random.seed(7)
N0 = 10000
half_life = 10.0
p_decay = 1 - 0.5**(1/half_life)
N = N0
print("шаг   осталось   ожидание N0·2^(-t/T)")
for step in range(0, 51):
    if step % 10 == 0:
        expected = N0 * 0.5**(step/half_life)
        print(f"{step:3d}   {N:6d}     {expected:8.1f}")
    decayed = sum(1 for _ in range(N) if random.random() < p_decay)
    N -= decayed
print("Случайные распады в сумме дают экспоненту.")

Вывод:

шаг   осталось   ожидание N0·2^(-t/T)
  0    10000      10000.0
 10     5032       5000.0
 20     2482       2500.0
 30     1246       1250.0
 40      634        625.0
 50      304        312.5
Случайные распады в сумме дают экспоненту.

Симуляция точно следует теоретической экспоненте: через один период полураспада (10 шагов) осталось 5032 атома из 10000 — почти ровно половина. Никакого «закона экспоненты» в код не заложено, только случайные распады отдельных атомов. Гладкая кривая родилась из статистики.

Диффузия как случайное блуждание

Капля чернил расплывается в воде, запах распространяется по комнате — это диффузия. На микроуровне это случайное блуждание: каждая частица делает случайные шаги влево-вправо. Замечательный факт: среднеквадратичное смещение растёт не пропорционально времени, а пропорционально корню из времени. Проверим:

import random, math
random.seed(3)
def walk(steps):
    x = 0
    for _ in range(steps):
        x += 1 if random.random() < 0.5 else -1
    return x
print("шагов   <x²> (по 2000 частиц)   √(<x²>)")
for steps in (10, 40, 160, 640):
    msd = sum(walk(steps)**2 for _ in range(2000))/2000
    print(f"{steps:5d}      {msd:8.1f}            {math.sqrt(msd):5.2f}")
print("Среднеквадратичное смещение ~ числу шагов: <x²> = D·t.")

Вывод:

шагов   <x²> (по 2000 частиц)   √(<x²>)
   10           9.7             3.12
   40          40.6             6.37
  160         162.1            12.73
  640         678.2            26.04
Среднеквадратичное смещение ~ числу шагов: <x²> = D·t.

Среднеквадратичное смещение $\langle x^2\rangle$ растёт почти точно как число шагов (9.7 при 10 шагах, 162 при 160, 678 при 640) — это закон диффузии $\langle x^2\rangle = D t$. А типичное расстояние $\sqrt{\langle x^2\rangle}$ растёт лишь как $\sqrt{t}$. Поэтому запах в неподвижном воздухе распространяется медленно: чтобы уйти вдвое дальше, нужно вчетверо больше времени.

Как работает под капотом

И распад, и диффузия — примеры того, как из локальной случайности рождается глобальный детерминизм. У распада вероятность события постоянна во времени, что математически и даёт экспоненту (марковский процесс без памяти). У блуждания каждый шаг независим, и центральная предельная теорема превращает сумму случайных шагов в гауссово распределение, ширина которого растёт как $\sqrt{t}$. Это объясняет, почему макроскопические законы природы гладкие и предсказуемые, хотя в основе лежит хаос отдельных частиц.

Частые ошибки

• Считать, что смещение при диффузии растёт линейно со временем. Линейно растёт $\langle x^2\rangle$, а само расстояние — как $\sqrt{t}$.
• Неверно перевести период полураспада в вероятность за шаг. $p = 1 - 2^{(-1/T)}$, а не $1/T$.
• Усреднять по слишком малому числу частиц. Случайное блуждание сильно флуктуирует; нужны тысячи реализаций.

Итоги

• Радиоактивный распад — статистика случайных распадов отдельных атомов.
• Гладкая экспонента возникает из локальной случайности.
• Диффузия — случайное блуждание; $\langle x^2\rangle$ растёт линейно со временем.
• Типичное смещение растёт лишь как $\sqrt{t}$ — диффузия медленна.